Boa tarde Diego,
Você pode fazer o dump do banco de dados, copiar para o novo servidor e restaurar.
Fazendo o dump:
~# mysqldump -u USUARIO -p NOME_DO_BANCO > BACKUP.SQL
Depois é só você copiar o arquivo BACKUP.SQL para o novo servidor e restaurar.
No novo servidor acesse seu mysql:
~# mysql -u root -p
mysql> CREATE DATABASE NOME_DO_BANCO;
mysql> exit
Restaurando o banco de dados
~# mysql -u root -p NOME_DO_BANCO < BACKUP.SQL
Espero que ajude